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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 <\G,c)))k"  
`{'fBM[  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. QvUyNVH<  
qwOJoOiJ  
　　1、三角函数本质： |8zI c  
ec)j@^"  
　　三角函数的本质来源于定义 boVmu cg  
8c=n4L(w  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 'i`Zr_X/'  
ae:=TTkU  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 gNq%:  
bI!:4_t$#X  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： p |7d;=>  
9fu1  
　　推导： f# (:[ M  
9wx@$S>  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 YY( DDdf$  
\T[wS6  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) =0vk+-Woh  
- v.P :Vu  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) `dn/xOZ s  
d&4C[d_  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 _RDYD a}_  
M4Ga'910G  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） :YZDd/{Hq  
~m'}IY  
　　[1] J?LY'lV<  
&(hd{]^y  
　　两角和公式 FZ|3vQ   
ov8  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB G)8$t}  
(i^8bM{  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  8 dEoE  
T,4Yc@-wq  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Q==3.V{t  
%'g2sEF D  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB e3lmmp8axg  
BIje ,  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) A8oP/  
ws7Pb ]  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ^L~B\  
X=X?Xpm&V  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  4)489pA#m  
z.EU1x$/Td  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) BRdb<5U B  
4$$6~:6  
倍角公式 s Q{|Rb4F;  
GW9<aT?m;9  
　　Sin2A=2SinA•CosA |T_\0eqt  
y+o,0@=4  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 UF;'Dx  
Tf0[,rY  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） n4c<CmF  
+r l\A^e  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 9dW9S`  
9aj7;:_*  
三倍角公式 2t ]~  
Ag^i 6  
　　 /E7qZ,l\f  
IWy@|f<   
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) `)3f$euZ  
yGTPqbOjQ  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Mm3tj _  
|C35UIvV  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) "#MvIASDc  
]i]A+JO  
三倍角公式推导 f p PszRn  
d~Wc29Jy  
　　sin3a '"H@r;o  
_cL63OFr  
　　=sin(2a+a) FL D6d*\  
WKXt0,Be]  
　　=sin2acosa+cos2asina ZC6) }"  
_a|$%%4bt  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina h!HQe$Pr  
YYDMFmi"  
　　=3sina-4sin³a q\1n-2P&d  
; "Z Q  
　　cos3a +5O/Z6W(B  
2a: ?~t B  
　　=cos(2a+a) >.vZs6B`mD  
j`>\$c.L;  
　　=cos2acosa-sin2asina dH)*+4.Q<  
(OH76ouEN  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa N|h(O07q[  
Oeq1XA'ka  
　　=4cos³a-3cosa 2-#KY*z 3  
*d,IW|-=  
　　sin3a=3sina-4sin³a < 'HAk  
'9{F\nOi  
　　=4sina(3/4-sin²a) 3 452~&  
dS.o<}]2&  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 9\uE ;#>$U  
u/m%vjA)  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) PvP=N4v X  
8zlAh='2b  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) &{S9D{dj  
sYg[9  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] .hDWK{y  
o}PG$U|  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ,BTlA  
qhh6)  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 2DV t^=  
]L9SAK!a  
　　=4cosa(cos²a-3/4) tXV^US7  
82;n2^r  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 4?MR4  
kN Kr %J  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 3lt+ d)~  
A@( S9#EW  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) >w')G#u  
0(^b<$0^  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} F6`zG1  
WUA~~<wU9  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) `6 D,h  
g<!4h jr7  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] w^'Ava~}  
VZ:x^  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] wP0 mK]  
t #t\8  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) WJo,UHxe  
<.e6i.|8  
　　上述两式相比可得 -=xQKBh  
lZB$i r[7  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ?CH3VK[X{  
yTr}   
半角公式 7irZt3O"c?  
]5GA,q6B  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); MU?wNuW  
p4vx^0dp  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. %Byw=f  
q*E3HO -)E  
和差化积 5^toQ(YQak  
!VEb83u:  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] X|FT p8-Z  
a]mTULVMd  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ]rW/v=`  
9O7<HqYDM  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] B3rG>k,8  
 LJKhE  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] B-Dl,8s|  
}> }}dB|S  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) xWR&{U  
E6f=uvi  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) m(Nq4oqr  
N6+ t}.]  
积化和差 IMH200  
w>YI]f.EV  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 3ktS`']g[  
Uz9 tE0  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ]sr7hHiY  
WjBq0Nb,  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Q,!l9U,m  
=`Qxqop7  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ZCGM  
Ds>cC:nKdD  
诱导公式 o ,t@}^  
z^v&OF=".  
　　sin(-α) = -sinα s_ 4J2C  
NJ>j.I]Oh{  
　　cos(-α) = cosα <Q<\FIY|  
GCg@ ]pF1  
　　sin(π/2-α) = cosα `]OdAXzq|  
+<lb=C|E3  
　　cos(π/2-α) = sinα "!4G2?  
wBt%Up:{  
　　sin(π/2+α) = cosα I0,8 wB|H  
l1szfu ZB  
　　cos(π/2+α) = -sinα "l%G{w   
gO0az)hx  
　　sin(π-α) = sinα gq-AZP%  
Uzo60AV  
　　cos(π-α) = -cosα yDBD)'  
+xBvCCId  
　　sin(π+α) = -sinα 7)_hm^8(  
x}{J#6Fv  
　　cos(π+α) = -cosα KI6&t~,fi  
ZTK(X*V  
　　tanA= sinA/cosA :<{*!Ee2#  
<22nG4fiE  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα S_kA>7+Ia#  
g ._wB-F  
　　tan（π/2－α）＝cotα v]~Zo7f  
:X; ; z  
　　tan（π－α）＝－tanα iMVSwwF  
qK;7U*n4[  
　　tan（π＋α）＝tanα 4~b 6".  
HQDv^w^  
万能公式 ? xC8wyEZE  
o fZ:hR  
　　 uj#=` &mN  
"<`NBpd'  
其它公式 t5^cS&  
LslTwvx'  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 3A&4)]0nk  
7~CGX pM  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 gg =as:  
P2 cB0)  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 zu(h4   
$$99APJa3  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 H j"!z@  
t<Ls[%!_  
　　对于任意非直角三角形,总有 *#]eMv  
p#F9sM,z  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC i E}1{!1u  
3e8N@M'"  
　　证: NqWOnUu  
AD59e/[ ?  
　　A+B=π-C }V9AG,  
9MNBF@!:s  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Ei5mI8A"f  
$_= mXN  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) nuV9c?  
&;$BZL54z  
　　整理可得 qJ2?8. Ua  
O@%*h  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC K.`J[N*Oi  
+a=g/`k  
　　得证 4.a7}.7 ~t  
$v^H.3D;  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 =3S*K"YZf  
^oQL4 `M  
其他非重点三角函数 ;jQse{\{=  
 8 ,wID  
　　csc(a) = 1/sin(a) FAG>f^  
Z%]o{*n3=  
　　sec(a) = 1/cos(a) ?9`Y\ET/C  
&N y}Lm.C%  
　　 &f8om=#xp  
tsa#.X2{`J  
双曲函数 %n!L"hA  
. v4 p(  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2  6gS9*_K  
IJ[Do  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 *UTMt   
^[B{O  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) =2Pd.0q  
>]uU! U{  
　　公式一： @Wz.^  
<;_CdPi'  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ,Ph] r  
|[xd9E%I  
　　sin（2kπ＋α）= sinα #norEhos  
*4Av  
　　cos（2kπ＋α）= cosα %| <]ss-`q  
,KfND)*L\  
　　tan（kπ＋α）= tanα QR'JJbl  
LQ|X,JZ  
　　cot（kπ＋α）= cotα GzTns.,9  
fpcEo-_5  
　　公式二： (+ Y6&K  
/58^&_$V  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ,;$0  
@AZ% ! V_  
　　sin（π＋α）= -sinα fE-`MX}  
o\nj8 kO[F  
　　cos（π＋α）= -cosα *7<Ig6,[  
FB{["H 8:  
　　tan（π＋α）= tanα N "` 4(a  
}]F7:E O3  
　　cot（π＋α）= cotα aC1/pkm-  
lSf*x2'  
　　公式三： |JU+2yK"  
C]WDe.AC5  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： uk~lYXr}=  
<&G)]iZ  
　　sin（-α）= -sinα .Ncx!qQu  
8a}yM8G8  
　　cos（-α）= cosα V_7q?0l  
, <0T'  
　　tan（-α）= -tanα LqB~8]]k  
t= "@uvZ  
　　cot（-α）= -cotα 0e`cC*uU?  
(X//WX.A!  
　　公式四： qwQP7  
4F&c=%we'  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ,'=__*  
Q/epO]U  
　　sin（π-α）= sinα D|17r^  
SqV"!<AL_  
　　cos（π-α）= -cosα N.}ZEn(  
vF$<[ %7  
　　tan（π-α）= -tanα m@@:sye  
ZCj?_5J  
　　cot（π-α）= -cotα 5uAG:e[K.  
)){5T K  
　　公式五： ]<1r)Z!  
f>tlo%GV6  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： K5GY'c  
iH%n@G/s  
　　sin（2π-α）= -sinα x3g aW  
a(0DqVDsk  
　　cos（2π-α）= cosα d&7t41!X  
>l TY>gf  
　　tan（2π-α）= -tanα >v}8PTz@l  
s*I<kbc]  
　　cot（2π-α）= -cotα zq'1o@gDE  
n-ZWGZlz  
　　公式六： =\W$w.Li{  
k Va_kz  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： [5"(noD:  
Xn 5T,,I  
　　sin（π/2+α）= cosα Q V<^-B'  
\|>+,RJ  
　　cos（π/2+α）= -sinα `*rF9&t X&  
"h=7"W;<  
　　tan（π/2+α）= -cotα L>a ]9Qz  
i)b2l+  
　　cot（π/2+α）= -tanα kE0BlFr `  
_uqjiF  
　　sin（π/2-α）= cosα 9oT 7+c5k  
T4!AMS X  
　　cos（π/2-α）= sinα $'@a~(v]d  
)om^~1~-Uv  
　　tan（π/2-α）= cotα >H{!qSr  
.lW/?4)Z  
　　cot（π/2-α）= tanα sG w@~()  
Xu*C  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 2<^pW[t9  
k '&js.^  
　　cos（3π/2+α）= sinα kOHAJu1'  
1ao(5?q  
　　tan（3π/2+α）= -cotα aG!|8+i2p  
,p T\-qy  
　　cot（3π/2+α）= -tanα iO2Wyo  
Sh{*% g5+  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ~c] >&  
bT_t.a  
　　cos（3π/2-α）= -sinα H/Yph'[='  
kX$C* @ S  
　　tan（3π/2-α）= cotα 75 KA#4  
fChTf55+1  
　　cot（3π/2-α）= tanα *||r,pO  
y7 A5 (=  
　　(以上k∈Z) A8{B}_  
K:7. ^:kq  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 mwJ ]O 9q"  
Rq6KF,Y  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Kx97Uq(r$  
q-ASri |O  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } MN<oT   
w]x9B|ebn  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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