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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ~i{veUyY  
U'M22"  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. -CjA94rdT  
<lSjAy  
　　1、三角函数本质： \( xlJMC  
;yYi%&F l  
　　三角函数的本质来源于定义 pa?L#"<9>j  
3R cP9r  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 _gRraf?  
DT&O h  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 6|K`%C 9  
: &i -U p  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Qc's46}t  
MPuRk|WP  
　　推导： @Ve<a8Wr  
Ly14m    
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 J0hD+3\J  
4@1<@Edz  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) AVBxuHZ=  
Bt Xf[1Q  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) |y%i9J?b  
4T_y_  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 4p ; G6[iq  
=ZNzX27w{  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） "oA(zov  
{nzg{yTHc  
　　[1] Xrd]z  
u 0iQI5BT  
　　两角和公式 8&@H] x  
xMi*.=gW  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Mo?N='?  
v/&A$Ss  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  sQ=":Yxw  
B93v kt  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB n>UA >s bA  
bHloaA-4  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB h"*+(0#  
hWlN~&^A  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) aNy-'d(  
}yYYE g  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ?nw=P_dOu  
ZTE rXh  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)   sI7J"5l;  
Z 9[x4d1  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) U)ajWMH"`  
jTCU\p#d*  
倍角公式 c\`s&z  
%VsN!W43  
　　Sin2A=2SinA•CosA V'F\q1W_  
PZ/l0EU?  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 wO:j@`  
7v?TZk&#  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） o-%Igf1d=6  
&`=ajcdW  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） n.}I 4  
2e82i]c{'  
三倍角公式 aD4M>Fe  
/b,S&6q^U  
　　 =\K=8 s>  
PHE<;K|  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) -2U*rP  
syASYq  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ,^&)ird  
BbtEw `YX  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) V=3<4   
6n'wB{XFi  
三倍角公式推导 ?jSWMC8++  
bfu/>y(  
　　sin3a O,qs#b,|  
1G)a}%  
　　=sin(2a+a) |aZ4|j[UL  
`o S"cfpO  
　　=sin2acosa+cos2asina 3ga3GlcG  
"IrY{ qt  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ?Ty`BfP?{  
X? RK.z  
　　=3sina-4sin³a 6'R*ucC  
@=I W7=x~  
　　cos3a c" G 0]4  
m|d<k^d t  
　　=cos(2a+a) SHW;EZ=  
 7;R_MC  
　　=cos2acosa-sin2asina vPPYU*mY[  
mU?RiyMV  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa rDY%O:qfB  
jtO@gSms  
　　=4cos³a-3cosa x iy%YBK:B  
;3K\;~IK  
　　sin3a=3sina-4sin³a N*GEH Z4  
99! F?%  
　　=4sina(3/4-sin²a) ]b3[)  
m\TaY{!5|l  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Gl^!J\  
;nD( )  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) b+!j #  
\dZUKR\>  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 5S#c"<mf^  
 yW^TbO  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]  LO*mj  
()_nN1 Q  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ^~#H7"Wx  
O+;XKe`  
　　cos3a=4cos³a-3cosa sbH]2O0eZ  
;Q->2MJ}  
　　=4cosa(cos²a-3/4) )[n# KP]  
y=t{(UA  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ^~Hj[%!LPm  
xWRkNK?'  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) =mE@@l-u  
!Y/gn2Uuh  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) BOeL}h4  
aS{= ]&T  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 4$Z?N]  
4'C*4{4  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) \I)E   
<w=DM>6z&  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] cZ="9XJr  
;.BWk 0H  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] H?TA;sw  
W59iii  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) } Z s[:  
MUk!TRNBi  
　　上述两式相比可得 uVEm:b%2  
/q*:|f  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) vM1M(u  
tzM[T*Lz+  
半角公式 m5|_,,3  
"f,d}Hn7E  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); QHQ\Te  
g|)DF#>5  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. inGO=L!B%d  
=VGf `K  
和差化积 `3?1)-W  
P&_w9'FUG  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] x zAS&:g  
=deAk0`Pf  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <?*#pGcJe  
V @y&^  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]  |4nj\/g  
Is]e:IJ  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] RLA?,E<# q  
rjkB/t!LP  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) mz /~$+  
{lCf"L D  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) (F[f\?wm0  
<;&g]U3  
积化和差 G(K]A}9l  
:m7j`1"  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] QCE|hT.$  
i"ZB&uGs  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] g{M}wK-  
[!,Od1<  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] BX Dg^  
nsbCvfd  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] /]-UHI _n_  
h{~EJdP)_  
诱导公式 ;X?6kU;"  
QQ}:Q+HcD  
　　sin(-α) = -sinα EiG3  
e'a6iu7Q+)  
　　cos(-α) = cosα LojB ,IrLC  
YHt F1srd  
　　sin(π/2-α) = cosα <qr['$o`  
] =\sWzt+  
　　cos(π/2-α) = sinα g=ldJVrN  
@7+u@  
　　sin(π/2+α) = cosα *M!r+8;s  
><, Oak  
　　cos(π/2+α) = -sinα l}57(x' w|  
tu {Wex  
　　sin(π-α) = sinα pD+dM;}V  
!8Ut/s V  
　　cos(π-α) = -cosα wYx?vK'A  
{d[W%n?0*  
　　sin(π+α) = -sinα S/$|njx;  
o~Vd ]  
　　cos(π+α) = -cosα Hw=L$ AG!  
?|Kf'wc-  
　　tanA= sinA/cosA 3Cv47-Bjd  
Z9oR#>RBI  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα n|8W'[|Iz  
-9)._dh%8  
　　tan（π/2－α）＝cotα +n"<z  
)4N^.J%J  
　　tan（π－α）＝－tanα kAYpvLIR<  
AL&@XG  
　　tan（π＋α）＝tanα HRk=b80c  
n+e-mvov_  
万能公式 lMB:YT59GL  
41.cQe {C  
　　 cGUDe2AzY  
G oHv3+6  
其它公式 DWM+'2N5  
=Xt Kq~  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Kq{=8@Ro  
Q&cLoX s  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 F6]O&Xv.k  
of| 5'ijtm  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 @6:1DH5'T  
yB.=SXe+'  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 jTj6y)|{I  
R0OTu>et  
　　对于任意非直角三角形,总有 N:6lL87%_  
C &A ZO  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC {c@&RGW;  
i2^Mh_  
　　证: ~fM:CC=  
3Gr{v0w32  
　　A+B=π-C mUH-1Jm:  
FC2_Jfxh  
　　tan(A+B)=tan(π-C) }xK7Gb ?  
\5+eI -:  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) q*h{^Z  
SvH)[gnV|s  
　　整理可得 h2/tW  
Mtpya#+e+  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `!5g>XH  
6_ WX%+z  
　　得证 UTEV2" ,  
Uw.F sv  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 \Q]nwP(cf  
E-|y>8%F  
其他非重点三角函数 Awa4`C9  
JY}g:Sdbp  
　　csc(a) = 1/sin(a) rdvL m S  
w m;~}i  
　　sec(a) = 1/cos(a) s7;7dc{7  
L+J~V|}`  
　　 `?n*?TLa  
g7 'I+T\  
双曲函数 KvXV:6y  
/+}I1@s  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 OPNl)XT=  
HJp!o\ `  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 [ -jOwY[  
gnn~B'  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 3QO,, HB  
9y2~S%,r  
　　公式一： =1@s_  
&kV1,  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： M%H&Z6|{  
hz^4Co_  
　　sin（2kπ＋α）= sinα }Pzy]U$lC)  
un z?3B <  
　　cos（2kπ＋α）= cosα >Q Qjc-(k  
])CJ7U  
　　tan（kπ＋α）= tanα ?tN\;$ts  
ZnzhF)xe'  
　　cot（kπ＋α）= cotα /Lo=IvVU>  
&,`.&Zf  
　　公式二： HIeK^X/T+G  
hb/~,IX  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： [j WC?]oJ  
H9%k-o+XM  
　　sin（π＋α）= -sinα p<0;" =V  
Tk,1 w4'  
　　cos（π＋α）= -cosα r $NVHpe  
KcJPWhm!  
　　tan（π＋α）= tanα 8>ySmfV  
>qB{g?Yb4  
　　cot（π＋α）= cotα wi%x7xOE  
'[uZ$t0wc  
　　公式三： Y6s>a6  
GmHeh\  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： eeyn$n@  
,PbV` o*  
　　sin（-α）= -sinα  8m@B&*w  
7 F]gI+j  
　　cos（-α）= cosα C~,|y(y  
[`0u!Gs  
　　tan（-α）= -tanα C ~Pq|"o  
v*kj}mB  
　　cot（-α）= -cotα ^a {*tll|q  
[8{U(L12  
　　公式四： G5rrQ   
idb{6  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： &yu~=+#  
?>]p ^ |r  
　　sin（π-α）= sinα #B-4!)  
/ok9ur6N  
　　cos（π-α）= -cosα U zqP Es  
="CP{ _  
　　tan（π-α）= -tanα |{rR5 Or  
*E:hj8z!  
　　cot（π-α）= -cotα IJ|sfY8  
#\;!p)g  
　　公式五： ~3^x{2Z&_7  
!{2]03nKGe  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： {]\B~gdI  
9W]%3)\l  
　　sin（2π-α）= -sinα 2oH)%_sIk  
I([-Qs}sX  
　　cos（2π-α）= cosα =re*K~dJ\.  
@YM}wLx  
　　tan（2π-α）= -tanα tz{YK&_  
T& xof`t  
　　cot（2π-α）= -cotα X2mO,>zT  
I{O#*IN5  
　　公式六： 4;6o   
|F Ffev  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： u^Oj{2nkz:  
uY~9I@AqM  
　　sin（π/2+α）= cosα ,n=0?9-&  
$M@)3G"B,  
　　cos（π/2+α）= -sinα :_@DCc<  
zKaO2uC Qg  
　　tan（π/2+α）= -cotα cxs4MgcC  
l-G{~{A3  
　　cot（π/2+α）= -tanα Trjp;J&|  
70M)9Ht*  
　　sin（π/2-α）= cosα -r'9*^_[F  
<.;g~`}f  
　　cos（π/2-α）= sinα .EsA56/?!  
_lHq)isB  
　　tan（π/2-α）= cotα @'i' 7  
)VIi@u  
　　cot（π/2-α）= tanα c] k~hIfB6  
`;/C97e  
　　sin（3π/2+α）= -cosα pXD[@   
Yeul=jCf  
　　cos（3π/2+α）= sinα :+w^c6 Uw  
hQ9Y Z+  
　　tan（3π/2+α）= -cotα `U.bE` 2j  
>S3iIHdj-  
　　cot（3π/2+α）= -tanα >`3v !  
'[B%i+  
　　sin（3π/2-α）= -cosα E|DFc 9_  
*mh3*5#(T  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ,u6mR/  
}vIc  
　　tan（3π/2-α）= cotα Fx]a 0&<  
uJ.<)jR{[  
　　cot（3π/2-α）= tanα s?' )W7ks  
we8h6Ay?  
　　(以上k∈Z) ^c|w:S<n  
I:X{De+  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 -QM4WRxJ_  
|D{,<>Y4  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = RG& v5Hif  
U:l&(wex}  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } M I%sxJ  
{ <WQ/*  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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