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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律  hMXqs  
2<~-!5<I  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. p+0 sn-r  
&t,qLEXf  
　　1、三角函数本质： L OP 6+c  
S-)'Mq\H  
　　三角函数的本质来源于定义 E>[)"@  
\I40 -Ch  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 (wBP@DS_a  
;09@ 1~*G  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 |h 6o  
|*PWFS@7T3  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： mi3g3)$p  
LQ}87(6p  
　　推导： szAva6J;/  
Nm"$s$Ph  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ? B}4ukhm  
Vg jNVQ\  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) pDL,<9lV^  
ot\3M3  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Y[,w"c q  
dL]!*@G/  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 (|,^_  
UP/m oA&+  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） U %*]lq  
6};;hGCX0  
　　[1] aS8w6==O  
|Jr \Z  
　　两角和公式 VBZb&oOo=  
2m2>}FO#  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB FX` h:-r  
i#`)e2EB  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  c4/*`Ap#  
-D,Rm[N  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB lP) o{8tm  
x!pangkkX  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB l^ >[sio  
{nOlE1  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 64?h[q|  
ir2I%  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) d1"b4AVYZ  
 B!aF[8\  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Ov{,dd$D  
w/sL'fal:  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) {CCl6hJ7  
Wx#Z<*RCM  
倍角公式 0ajh`B s\  
< z@ fyl2  
　　Sin2A=2SinA•CosA [r|wR>fQ06  
Vv5*$&@S  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 e8>n(bDU_  
1W0* *  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 6G": +J!  
*Ar1mu[  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Lju*_v3  
b<X TxM?  
三倍角公式 Hb.T!X#$  
nR*`?6h  
　　 4$r2iI_Aa  
Twi3 k8n  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ]/rGuP  
y ''H8  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) }1thtxoc  
NL!KP "SsC  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) "j&+.&}&  
})#5C|+=tW  
三倍角公式推导 Xu-zX  
}-!>wi%  
　　sin3a djz*ma"l,  
sbjX@%~"  
　　=sin(2a+a) tMI5u  
ua.%,  
　　=sin2acosa+cos2asina oz;^,{G@]  
.iK!"Q  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina %Z~RoON  
d,&;d'#$ u  
　　=3sina-4sin³a 5b {D/[,  
H@=e5>B  
　　cos3a M7D|SDv  
ZxR| `  
　　=cos(2a+a) s@[T1J+sj  
YdKqn&  
　　=cos2acosa-sin2asina f /OyMD#  
D"OopR  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa afJ&cLHll  
6/eA@o*5+B  
　　=4cos³a-3cosa _Wj|%Pj(  
h)X=68BH  
　　sin3a=3sina-4sin³a >}f\:o_  
lL A/  
　　=4sina(3/4-sin²a) D~dox[  
9/1pU q|Q  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] A},rhL{  
i#\8Mq))<  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ~`t,Dy@9  
RG>pW O'  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)  "]!AD#  
W9@czuk  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] aIWES d  
}`KUs#0  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) -4`k@T  
W#kB'%_<  
　　cos3a=4cos³a-3cosa \gl WiSI{  
#ix5M-W  
　　=4cosa(cos²a-3/4) V' |o]  
GnVal,j  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Zh5<me =m  
Y7Z<z8=  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Y*9&P5E<'  
>wYp\ P  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) X96Iio_ph  
-`GlW;<  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} d9H2* }:t  
?.4x-8J  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) {U{!&  
Nm% l/(s  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ZZ/5F7)  
li<x[ h  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] KwLUEbZ@  
/]W(cV\p+  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) am#-!'O  
;"q$zJ[]E  
　　上述两式相比可得 -1Tnca@5"  
XPWlod  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) UdJ*fv  
qLgUX  
半角公式 Ey-mQ_  
DQwPKe0[ <  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); .p,SYf8,N  
v"#3 :!  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *YAjIX^  
VneJVDc)#  
和差化积 LN5=g4Z  
{;}e`jJ\8  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jp xo8mp  
oAb`=X)Igw  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] =e&M)1[N  
Ky{pR]*  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :$ HSSO 7D  
g}d(q)<R  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] %="Q+a<h  
^g#K!gqN.G  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) @d7aDS^  
lcEau3"C[  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) .d{ f]  
R%P|AaW5  
积化和差 X7J-@H$N4  
M'Q+D3xp2Z  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]  a?GG~?  
,vwsDRq  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 7!eA^:  
qXiq*Y  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] X[nx!&PLh  
TGt~w5&  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ~"T<SA+  
;jNHog[  
诱导公式 v ^6,r,  
I T`KIW]  
　　sin(-α) = -sinα Iv,}, 6xg  
)'hGNi1\  
　　cos(-α) = cosα SW'hA>  
ae@Oemn  
　　sin(π/2-α) = cosα <( Q'D  
Mm@6nZ:  
　　cos(π/2-α) = sinα pHNWpr Z\S  
ctqXo  
　　sin(π/2+α) = cosα 55urWyW  
8~lTaLO-  
　　cos(π/2+α) = -sinα :eWut#%{s  
Lt U\'4  
　　sin(π-α) = sinα 7i eH %b  
1C}^JOIX;x  
　　cos(π-α) = -cosα $EK3E)X#{  
NQVQ]H<if  
　　sin(π+α) = -sinα 2'jG=Af  
}J& .Sf.  
　　cos(π+α) = -cosα mo^07N)  
P&@K7IAz  
　　tanA= sinA/cosA E-~Y6:'  
s=s 9C  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα t /_ Rx  
)x4uiJEv  
　　tan（π/2－α）＝cotα p`<pDHmwqn  
IuWj)-@LF  
　　tan（π－α）＝－tanα 5_N_^!?z  
Drsbd)Zx9^  
　　tan（π＋α）＝tanα {%)W6oo  
f3;c5P85  
万能公式 }6zg"qG  
f0mg+J-  
　　 Kczkd{;H  
TE0H6Cj  
其它公式 aSgAI;S  
obh+Vxy3I  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 N+5@1_g*  
4vstZhG  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 @_cV4 `aM  
=O{IMx}  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Ys q[m#H  
97!"I=-  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 A8\I58__f  
Z^EcEF]^C  
　　对于任意非直角三角形,总有 9#DP25X D  
4~2c ,!U  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC SDppdi7;4  
l",2JSZ.  
　　证: 0( h\kM*  
\~ T_^  
　　A+B=π-C 33RQy;<0  
g_t +YVu  
　　tan(A+B)=tan(π-C) j8Khakz7  
@Qv10b0fc  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) mAz95.|XL  
c(65.3m;"0  
　　整理可得 + 52g}_)~  
1Jq&#`S#  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @q.QR[2<k  
+>M#t60`  
　　得证 32QQSOG|(C  
~_A_f:q  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 qt6R Ff  
qvXG5v  
其他非重点三角函数 g7nJSORs%  
V7hg~oZ%~R  
　　csc(a) = 1/sin(a) { B/I'g'O  
n ES/9FRT,  
　　sec(a) = 1/cos(a) z<~g~(  
lu%B5JhJ  
　　 Gf6^ Ei4  
6}@![Bcw  
双曲函数 M+X`H<)Y+  
ta_aoR:Y  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 G"Pw_~>  
7%z2r2 I  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 $ 0  
oY%jm%O>  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) (5E[R[VoaJ  
H HLhCCVK  
　　公式一： y` pnJ_]3  
.G)-aF!  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： rvwxU~uN  
]}<w#WlXk  
　　sin（2kπ＋α）= sinα >kpfN(AUUF  
=TE$Bm  
　　cos（2kπ＋α）= cosα <^ik3JOi}  
j7 TZ'k  
　　tan（kπ＋α）= tanα ?w~Y2%His  
{z]T K|e?  
　　cot（kπ＋α）= cotα )t!y!  
H _ B|d(  
　　公式二： 7iEQOO}p  
h.cQLhN  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： uXp TB_U  
-<>fmAs   
　　sin（π＋α）= -sinα &iIiSB8iJ  
q.P\5.Z  
　　cos（π＋α）= -cosα 31'1rZVa  
7wR,XF e  
　　tan（π＋α）= tanα ^C9>;=3  
b#Y6J{8A  
　　cot（π＋α）= cotα ^ F>"]0  
FF &8%O  
　　公式三： UD7nOOq  
@N:.mfKC'  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： S?CyuU\X  
Q"bxa_vA &  
　　sin（-α）= -sinα Is^u>BC  
v!/Uc+ .  
　　cos（-α）= cosα VWI9   
iP&}0G[TE  
　　tan（-α）= -tanα ;ow25|h  
np'6)vt#  
　　cot（-α）= -cotα $e2[Ey'6  
]O?e9?k I  
　　公式四： UI N?wpa  
G7|n1y>^  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： UWG@j~(/y  
&:;.8f}T  
　　sin（π-α）= sinα p zPtzn  
HYqsBBNo4  
　　cos（π-α）= -cosα ?%,5C9?  
"uUV/ FQ  
　　tan（π-α）= -tanα d|6>15Y\  
m5BM_>UF (  
　　cot（π-α）= -cotα <8oiWB~  
sgl}1B  
　　公式五： Bo~+ _  
f W?oa)  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： P2R XES>n  
^+2t0m  
　　sin（2π-α）= -sinα InJB,*p  
6e T&tq^  
　　cos（2π-α）= cosα ?7wvg%CV1  
4[ })Hf?  
　　tan（2π-α）= -tanα XAWzlr"  
t<\l8+  
　　cot（2π-α）= -cotα Ov`6n3yiE  
'\t)/Y1k  
　　公式六： [o-e7&9  
Mj!R 1D  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： R:p,&s#$(  
IH Loz :g  
　　sin（π/2+α）= cosα ZKH_z$\S  
H)*TfpqzS  
　　cos（π/2+α）= -sinα v<,eYe!s  
#S}],   
　　tan（π/2+α）= -cotα [b/3t\_i$z  
GmDB*'a  
　　cot（π/2+α）= -tanα m4D}*<  
/Ah5f!Cf@  
　　sin（π/2-α）= cosα %iD:[ =t/  
`?. @  
　　cos（π/2-α）= sinα B  ET)w  
Y,Hs!+& Q  
　　tan（π/2-α）= cotα v@1adnd1  
8 K[\$%r  
　　cot（π/2-α）= tanα -~4MEMN[Z  
5} 8 s!}  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 8g+O?&,*  
5Lp7b)5  
　　cos（3π/2+α）= sinα fgw{nD  
?*^7{K&  
　　tan（3π/2+α）= -cotα A~eDCwH|  
v1SQ)QtwC  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 4w.ax7  
|hQjS+  
　　sin（3π/2-α）= -cosα {?N.8 "m_  
VLu9TRaM  
　　cos（3π/2-α）= -sinα | mg8lb#}  
^'Bf:9-;  
　　tan（3π/2-α）= cotα rCRx ( V)  
i9p y^xG  
　　cot（3π/2-α）= tanα )mKk\=D*  
~fb:|{  
　　(以上k∈Z) Az5-j  
i@=#=c|  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 k*h|-(|.  
%JK4u'C$  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 6 %n\|Qv  
7~ 1MR~Z  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } DW `x+y(8  
gXFxf'j;  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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