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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 # k-^k!  
/iG 40D.H  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. &*lJ59@I  
i\ol|zw  
　　1、三角函数本质： fD [[Lr^  
w5!{3|_I  
　　三角函数的本质来源于定义 syQ*7}E  
$<U%7r  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 = f\76=j-  
.]N-$o 2  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 j),ad   
lT]Rt]^  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： qGH#0k x  
F!2:+7=0  
　　推导： fQ1<T05$c?  
vb,cq{=  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 n!R~pM<  
):/,V Dn>  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) u1{F0(k  
w-)f#$  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 0  50:[  
.l{~ LP  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 = 4t)  
A 8s.c X  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） \_)/V 2F  
au/o=nG  
　　[1] E1IL<8[h  
[ [=3HG  
　　两角和公式 d?dm^ZU!v  
R30!LQRO5  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Eo9]-  
'4j4^\+u  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  N:pw$[\t[  
".^- ~]Zj  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB a` 6/+8A  
y 6Lx {&>  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Q1(+1  
yMV/Q5un  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) }E JN!U  
i6@|rDr  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) faFK:1MY:W  
,@]2=^+%A  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  *SlHxVqYH  
WatSJ.LQ7Y  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) \VEwoIW@k  
,FcsR;y  
倍角公式 '@uQ?i L  
?2zG* bZ  
　　Sin2A=2SinA•CosA |'?^wKzF  
3/t55[Ot  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 <^Af,  
e2i,O" 1ZH  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） '_<:] e>  
5fk ]K  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） w IIM9 +  
~F*SCsEg  
三倍角公式 7PU]K~  
ghE|{\C  
　　 NmV_<  
~jpLzd5  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Jz F(U~^#  
H9*#1 O,  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) MQ$3mQ %  
A4zLp\L  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ,Se,#f  
/?,F;8:  
三倍角公式推导  [irn`\.O  
c Z2yQ&  
　　sin3a sKHx*x  
+@zTNRoj  
　　=sin(2a+a) b^/2JGD  
gJWguj?  
　　=sin2acosa+cos2asina f0gBK:QT  
\gfFs~ p  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 7^ {WUIO  
gy"$w2  
　　=3sina-4sin³a TN{Lh  
OjI}o^- 4  
　　cos3a l+C{P{I  
^m5 tWjo  
　　=cos(2a+a) ,5YN G ][8  
Vh{b971  
　　=cos2acosa-sin2asina N#d 2?  
Sm[aMcI  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa gRZD:=$Z+Y  
R$T%81p{  
　　=4cos³a-3cosa 9x,/b s{sc  
FNQ #  
　　sin3a=3sina-4sin³a LqLw<#"e  
':uE!|8do  
　　=4sina(3/4-sin²a) {I,tZ`K   
}$F.X&0  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ]xqcMn  
c-1G70"~r  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 0e<ba?JW  
R f{'{;  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) K`:)wT,  
QxFX1, ^  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 1t>VyGMh  
_Nr1JVk5  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) afZ`@ndS  
nyf6*5GQ^  
　　cos3a=4cos³a-3cosa h)D6&+J  
_WHF|<  
　　=4cosa(cos²a-3/4) wyn&)fe  
D,]6r~  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] *r]zqfi2  
q$dm~I-kN  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 8=xUc  
3c$nj*x/r]  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) I2i7jSzq  
cK9d7k/n  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} %kW|h3z  
O\vzbY\N  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =Am$.6MT  
NF^A`/l  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] a8@V[]bC_  
R!0Y("'3  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] lX(Nc2=)5  
<{7^<xJo  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) SV&\LrE,!  
.m. @h  
　　上述两式相比可得 :B spkA%  
@9=%KIf9KR  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) c^["e,f  
|}4/b%S  
半角公式 O0#V)Cj  
K/jv )[R  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); bulQtC;  
WHM7:K(M  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. R@ N Np  
*[QJ.7T  
和差化积 1YSD:mE  
+1/@( bA  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] C/@`:;Z  
I3Kuy_8  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] yCH4W1s~  
k<rXIV$  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] %=y =m_}A  
y .$o  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] a!RC VxH  
xM\FO  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) }B'|vB'eX  
v$9T}z]5  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) q`kp@d!z   
s ~QEKs =  
积化和差 C9*2 AFu  
(%o]4*k_w  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] _ SxQ"6)  
4:CqIUm  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] v[+NP7~  
iUlr(Z}  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] A/9WATckc  
}@XoAcNF  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 044 Pb"  
m 3EDu;U  
诱导公式 g>_N?f  
[(&=\  
　　sin(-α) = -sinα b>`bPG@A?  
i%hLB2C  
　　cos(-α) = cosα UT$,m'O  
?}%7 <!  
　　sin(π/2-α) = cosα 3)^[R6zN6  
}Vp6 >L.  
　　cos(π/2-α) = sinα FPd?3m~(  
;[aQ4|I@d  
　　sin(π/2+α) = cosα )|U4*z X  
L~51$Yh  
　　cos(π/2+α) = -sinα |R% l"B!r  
jzTO;RvKL  
　　sin(π-α) = sinα m84@Xx  
"o<t,r  
　　cos(π-α) = -cosα Saz4=]2w"  
\tS%h1}+Z  
　　sin(π+α) = -sinα O FLuo ^  
I,Yu'#  
　　cos(π+α) = -cosα x8@j $gy  
jK%JF_#n()  
　　tanA= sinA/cosA #ndLP  
UZ|jCZ  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 2 Y([NFvp  
|w/)%  
　　tan（π/2－α）＝cotα 0>l/+%Z(  
6)}jb@ ;  
　　tan（π－α）＝－tanα 8:<o%e  
h9[*&,|$UR  
　　tan（π＋α）＝tanα A*Jrzt.  
OVH_qB;)k  
万能公式 d!]%[a^  
bb=P-p!0  
　　 j4fI@g *  
[10O{b*@  
其它公式 bHqG2:Y=r  
%9M2]o[  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 @RLNuw  
~OBG*z FL  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 1 :S-SE  
!zE[>i5[J  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 C<H*36v  
X* t1n0  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 X_r+R6RH9  
~ i&<[LG  
　　对于任意非直角三角形,总有 )|-%`a)X<  
9\9h/y?M  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC y$a5%Pay  
6wY%$p  
　　证:  3ybIh#  
Hy92^`^1  
　　A+B=π-C `RwyP"i  
G#-*,4R;  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 'en;U5  
ljy<T ++  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) i ` DZj#'  
!xQJrf.q  
　　整理可得 FK<H8s ('#  
lq4P{#MX  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC {-0ik  
Dv)B&uW  
　　得证 }CM d GC  
(a<c .ykn  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 =ESf+-/mD  
OgM ?2e  
其他非重点三角函数 #5)WiBk^Zq  
_lB> 6%/  
　　csc(a) = 1/sin(a) #$4x!F?~G  
2YZL55Z  
　　sec(a) = 1/cos(a) 1JJ"zi  
~*#O^}\d  
　　 (!4^%8>UDa  
d$igS  
双曲函数 +fX&t\o3  
j~\W?#cA#  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 o_}XM}cj  
Dpl@je$+  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 #g,B/\  
f_?i=l8Ar  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) bH@V"PE  
6" mB~T9  
　　公式一： ,hQl8z^c  
oh}_   
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： [ H3m%}O  
@ ,v9dm2A  
　　sin（2kπ＋α）= sinα %Pg&es2o  
oM@ \gI+&  
　　cos（2kπ＋α）= cosα mP7 !$g  
+T,,)-m  
　　tan（kπ＋α）= tanα o`uT7mF  
=o5^.g>.  
　　cot（kπ＋α）= cotα Z>',.neH  
p2g/t39{I  
　　公式二： VN 5Bu C  
^^ @o"dS  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Bx 7^`$~  
sFJG^z,8  
　　sin（π＋α）= -sinα |0-k?56  
E,vo Py`  
　　cos（π＋α）= -cosα Mr_Zbm!  
`6;s-&y>  
　　tan（π＋α）= tanα %t`F.i  
ECG_ Y1U  
　　cot（π＋α）= cotα q*!b O  
e,ypUNw*=  
　　公式三： 4lTC|3k  
rhIb|Cah  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： uw&/_ 9?  
VW+h$b  
　　sin（-α）= -sinα ;G]PDQBK7  
9U=VG U({  
　　cos（-α）= cosα 5\2Vl@Q}Xf  
eR??m  
　　tan（-α）= -tanα #z4%L`7Ed  
=Yx8p\ a  
　　cot（-α）= -cotα +=uy"\3  
GG2[:z  
　　公式四： -W$wok e  
}yxnSv[]  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： u`X<Tec>  
7UBx\!djn  
　　sin（π-α）= sinα v ,fAS-  
* T|/d+D1  
　　cos（π-α）= -cosα X4 "J>*  
exy<th%&  
　　tan（π-α）= -tanα = e`-`?i~  
W-v,y  
　　cot（π-α）= -cotα O?0/'4qI  
]b2V8y  
　　公式五： sS4r=8Y  
 t6!nC i  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 2PNRR0pHE-  
66}-Y_v.W  
　　sin（2π-α）= -sinα `SE 5pe  
 pHa r  
　　cos（2π-α）= cosα !5>d @O{B  
$^ qCKr:  
　　tan（2π-α）= -tanα P@hYF#_]  
I%88\-R  
　　cot（2π-α）= -cotα -sYd3s  
I'VWr8szY  
　　公式六： N*~ ;=   
' in0 3x  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： j[m{ |u!9  
-feKMH  
　　sin（π/2+α）= cosα  Q8,]TuX,  
J55P& -3 o  
　　cos（π/2+α）= -sinα 1/Tw>1v  
B[$6Xu'(  
　　tan（π/2+α）= -cotα F 12,WdP  
79~XlT'  
　　cot（π/2+α）= -tanα ~TvR`  
, JS)=  
　　sin（π/2-α）= cosα 5yAxj~<  
W A8`s  
　　cos（π/2-α）= sinα nB*s&_)DE  
<7 ? sA  
　　tan（π/2-α）= cotα \HD0g_5Gk  
eFm&Pp^  
　　cot（π/2-α）= tanα .aB$L =  
P|@(8<Xe  
　　sin（3π/2+α）= -cosα n /eO8K  
VA4`V?  
　　cos（3π/2+α）= sinα z;\Ii<:  
ho|08?Zt  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Wz%!qb-MU  
bH]a@/  
　　cot（3π/2+α）= -tanα kkadw!)c  
/@!S-Dfh  
　　sin（3π/2-α）= -cosα zMIrY @c  
'HrZO  
　　cos（3π/2-α）= -sinα *FMJcN)  
2rb 8L&lA  
　　tan（3π/2-α）= cotα j,we !>YD  
%m<CofcO  
　　cot（3π/2-α）= tanα 9)Mn |uU  
-wVSE*  
　　(以上k∈Z) G.3}j5d  
tu&^Y,$A(  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 p .w T@  
2 >%- EE  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 0NTHC\}  
U7pjm2@'  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } W@S~ VNj  
' # Q  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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